往復する犬 ≫2004.11.30 [Tue] 00:00

これは有名な問題だから知っている人も多いかもしれない。

問題）

1km離れたところにいるAとBがお互いに時速5kmでまっすぐ近づいていく。Aさんの足元には犬がいて、AとBが動き出すと同時に時速15kmでBの方へ向かう。Bさんと出会うと180度向きを変え、同じ速度で今度はAの方へ向かう。犬はその後もA、Bに出会うごとに反転する。AとBが出会うまでに犬はどれだけの距離を動くだろうか。

普通の計算問題として考えると以下のようになる。

犬とBが最初に出会うのは、犬の出発地点から750mの地点で、その間A、Bともに250m進むので残りの距離は500mになる。次に犬とAが出会うのは、Bに会った地点から375m離れたところで、その間A、Bともに125m進むので残りの距離は250mになる。ここで、犬が進む距離は残りの距離の3/4で、残りの距離は（すなわち犬の進む距離も）1/2になっていっていることが分かる。ということは初項750、項比1/2の無限等比級数を解けばいい。単純に公式に当てはめて、750/(1-1/2)=1500となり、答えは1.5kmとなる。

こんな複雑な計算をしなくても、小学生の知識で解くこともできる。AとBが出会うまでの時間はAとBがそれぞれ500m進む時間だから0.1時間。その間に犬が進む距離は15×0.1=1.5。よって答えは1.5kmとなる。

ちょっとしたひらめきがあれば、高校３年生レベルの問題でも小学生が解くことができる。これがパズルの醍醐味だと思うし、魅力だと思う。だが、ひらめきというのは誰にでも訪れるものではない。僕はこういった問題が好きで、普段からいろいろと考えたり蒐集したりしているから知っているけれども、この問題を知らなければおそらく上の解き方で解いてしまうだろう。その程度の凡庸な才能しか持ち合わせていない。天才というのはそういった常識をぶち破る考え方を持てるかどうかで決まるのだと思う。

さて、ここで小咄をひとつ。

ある著名な数学者（たしかガウスだったと思う）が学生に上記の問題を出された。彼は数秒考えた後、正解を口にした。学生は言った。

「さすが先生ですね。普通は等比数列の和を考えるのですが。」

数学者は答えた。

「いや、私はそうやって答えを出したのだが・・・。」

最後に、もうひとつおまけの問題を出してこの話を終わりにしよう。

問題）

AとBが出会った時に、犬はどちらの方を向いているだろうか。